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소설이론으로 풀어내는 수학(4)-2
제4탄 조건과 주제 파악(출제자의 의도 파악)
2018년 03월 23일 (금) 15:30:59

3월호에 조건을 해석, 수학 문제 주제인 ‘출제자의 의도를 파악’하는 방법에 대해 구체적으로 살펴보았는데 4월호 칼럼에서 추가적으로 다루고자 한다. 3월호에서 다뤘던 내용을 간략히 정리하면 다음과 같다. 소설과 수학 문제는 글이냐, 수나 식이냐의 차이일 뿐이지 표현이 되어 있다는 측면에서는 동일하다. 표현된 글을 통해 소설의 주제를 파악하고 제시된 수나 식을 통해 수학 문제의 출제의도(수학에서 주제)를 파악하게 된다. 수학에서 표현된 개념이나 수, 식을 특히 조건이라 부른다.

1. 조건 – 주제(출제자의 의도)를 찾는 힌트
수학 문제 풀이의 가능 여부를 좌우하는 것은 그 조건을 이해할 수 있는 개념의 학습과 응용, 해석능력이라고 할 수 있다. 그러면 이 조건이 도대체 수학에서의 ‘주제’인 출제자의 의도 파악과 어떤 관련성이 있을까?

수학에서 조건은 주제인 출제자의 의도를 파악하는 중요한 힌트가 된다. 그런데 이렇게 중요한 조건을 출제자는 다양한 형태로 제시한다. 출제의도를 단번에 파악할 수 있게 조건이 직접적으로 제시되는 경우는 쉽게 문제풀이를 할 수 있다. 여기서 문제가 되는 것은 힌트라고 제시된 조건이 직접적으로 사용할 수 없도록 문제에서 표현하고 있는 경우다. 모든 문제가 그렇지는 않지만 고난도 문항을 비롯해서 등급을 가르게 되는 문제에서 이를 자주 목격할 수 있다. 소설의 경우에도 표현된 부분이 명확하게 이해되지 않으면 주제를 찾는데 많은 애를 먹게 되어 있다. 하지만 꾹 참고 계속 읽다 보면 다른 장면의 표현에서 주제를 찾을 수 있는 힌트를 얻을 수 있다. 그런데 수학은 이마저도 허용되지 않는다는 것이 문제 상황이라고 할 수 있다.

2. 조건 - 표현의 차이
다음 두 기출 문항을 통해서 구체적인 표현의 차이를 살펴보자.

   
 

위 두 문제는 미분 단원의 극대·극소 개념을 활용하여 풀이하게 된다. 그런데 두 문제의 표현을 살펴보면 명확한 차이를 느낄 수 있다. [2016학년도(A형) 9월/평가원 21번] 문제를 보면 어디에도 ‘극대·극소’라는 표현을 일절 사용하고 있지 않다. 하지만 [2016학년도(A형) 6월/평가원 21번] 문제를 보면 ‘삼차함수 f(x)의 극댓값을 an이라 하자.’라는 표현을 통해 극대·극소 개념을 활용하도록 힌트를 주고 있다. 결국 두 문제 모두 출제자의 의도는 극대·극소 개념의 활용인데, [2016학년도(A형) 9월/평가원 21번] 문제는 도대체 어떻게 ‘극대·극소 개념’을 활용할 생각을 하게 되느냐는 것이다. 대부분의 수험생들이 이 지점에서 좌절하게 되고 문제 풀이 방향 자체를 생각하지 못하게 된다.

3. 조건 해석 능력
[2016학년도(A형) 9월/평가원 21번] 문제가 ‘극대·극소 개념’을 활용해야 한다는 사실을 제공하는 표현(조건)은 다음과 같다.

   
 

이 조건을 정확히 해석하지 못하면 출제자가 도대체 어떤 개념을 활용하여 문제풀이를 요구하는지 그 의도를 파악할 수 없게 된다. 개별적인 학습경험과 능력의 차이에 따라 다르기는 하지만 보통 조건 해석이 힘든 경우는 표현된 조건 자체에 수험생들이 익숙하지 않기 때문이다.

그런데 문제는 익숙하지 않은 조건에 반응하는 개인별 태도에 따라 그 결과에 큰 차이가 난다는 사실이다. 익숙하지 않은 조건을 보고 단번에 포기하는 태도를 가지는 경우에는 수학 실력 향상을 기대하기 힘들다. 이런 성향이나 태도는 비단 수학 문제만 국한이 되지 않고 삶의 전반에도 나타나게 되고 삶을 살아가는 능력을 키울 수 없게 된다.

반면에 익숙하지 않은 조건이지만, ‘내가 배운 개념을 가지고 하나씩 살펴보다 보면, 힌트를 얻을 수 있을 거야’라는 태도를 가지는 경우는 상황이 달라지게 된다. 이런 적극적이고 도전적인 자세를 가지면 몇 번의 시행착오를 거쳐 문제를 해석하는 능력을 키울 수 있게 된다. 보통 수학 학습 환경에서 이 부분에 대한 논의가 구체적이고 심도 있게 다루어지지 않는 듯하다. 상업성이 중요한 사교육에서는 대부분의 수험생에게 제공할 만한 콘텐츠로는 부적합하다. 그리고 해석능력을 키우는 과정 자체가 수험생 개별 성향과 밀접한 관련이 있고 또 꽤나 인내심이 필요한 과정이라서 매력적이지 못한 영역이다.

[2016학년도(A형) 9월/평가원 21번] 문제의 조건을 간단히 살펴보면 다음과 같다.

   
 

주어진 부등식을 통해서 파악해야 하는 것은 미분가능한 극대·극소와 미분불가능한 극대·극소를 찾아야 한다는 것이다. 이러한 해석이 가능하기 위해서는 또 절댓값을 포함한 함수에 대한 이해, 좌미분계수와 우미분계수, 그리고 4차함수 그래프 개형 등 추가적인 개념이 더 필요하다. 이쯤 되면 ‘포기’라는 단어가 반사적으로 떠오를 것이다. 출제자의 의도라고 제시된 조건이 더 힘들게 만드는 이 상황을 선뜻 수긍하기가 힘들 것이다. 하지만 그것이 수학이 갖는 특성이다.

수학은 퍼즐을 하나씩 맞추어가는 인내의 과정이다. 답이 나오지 않는다고 끝난 것이 아니다. 답이 나올 때까지 끈기 있게 하지 못하고 멈추는 것이 바로 수학 실력 향상의 기회가 끝나게 되는 것이다. 

   
 

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