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'수학의 달인' 이광준, '수학, RE-START'
제3탄: 올바른 개념 학습 - ② 공식·법칙·성질·정리: 증명, 이해, 적용
2018년 06월 27일 (수) 11:45:01

지난 시간부터 수학 학습에 있어 잘못된 개념학습과 관련한 네 가지 사례(정의를 대충 학습하는 사례, 공식은 암기라는 착각 사례, 개념학습 중단 사례, 애매한 개념 기억 사례)와 올바른 학습태도에 대해 살펴보고 있다. 6월호 칼럼에서는 첫 번째로 ‘정의를 대충 학습하는 사례’의 문제점과 해결에 대한 내용을 다뤘다. 이번 칼럼에서는 ‘공식은 암기라는 착각 사례’의 문제점과 그 해결에 대해 살펴보자. 개념(정의와 공식·법칙·성질·정리를 지칭)은 그 속성상 추상적일 수밖에 없다. 따라서 막연하게 학습하는 등의 잘못된 태도를 갖게 되면 여러 문제가 발생한다. 매 순간 주의를 요하는 것이 개념학습이다.

1. 잘못된 개념학습 사례–공식은 암기라는 착각 사례
보통 공식이라고 말하지만 엄격하게 ‘공식·법칙·성질·정리’가 존재한다.(법칙·성질·정리도 공식에 준해서 생각하면 큰 무리가 없다. 이후 ‘공식’이라고 통칭한다) 그런데 이 공식과 관련해서 머리깊이 박혀 있는 것이 ‘공식은 암기’라는 생각이다. 이것은 틀린 것은 아니지만 잘못된 생각이다. 왜냐하면 공식을 암기해야 하는 것은 맞지만 암기가 전부가 아니기 때문이다.

우리나라 수학 학습 환경을 살펴보면 초등학교 때부터 천편일률적으로 학생들에게 ‘공식=암기’라는 형식의 학습 프레임을 주입하는 경향이 크다. 선생님뿐만 아니라 부모님도 ‘너 공식 외웠니?’라는 식의 말을 정말 두서없이 습관적으로 던지는 경우가 많다. 기본적으로 ‘암기’라는 말을 들었을 때는 대다수의 사람들은 부정적인 심리가 작동한다. 어른들도 그런데 하물며 학생들은 더 부정적일 수밖에 없다. 모든 문제점의 근원은 잘못된 생각과 태도 때문이다.

문제는 ‘공식=암기’라는 단순하고 잘못된 학습 프레임이 반복되고 있다는 것이고 학생들도 분별없이 이 프레임을 계속 따르고 있다는 사실이다. 이러한 프레임 하에서는 ‘공식=암기=싫음=귀찮음=스트레스’라는 구조를 벗어날 수 없다는 사실이다.

2. 암기를 대하는 자세
(1) 암기에 대한 부정적인 태도
암기에 대해 부정적인 태도가 생기는 이유는 단순히 암기를 강요하는 현실 때문이다. 결과 지향적이다 보니 암기 유무에만 집중했지 그 과정에 대해서는 선생님들이 다소 미온적인 경우가 많다. 결국은 공식만 암기하면 문제를 풀 수 있다는 단순한 사고에서 시작된 암기 강요가 수학에 대한 부정적인 마음과 쉽게 포기하는 현실을 만든 것이다.

공식을 암기해야 하는 것은 맞다. 하지만 ‘암기’는 수학 공식을 학습하는 과정의 결과이지 그 자체가 목적이 돼서는 안 된다. 여기서 암기를 어떻게 해야 하는지는 암기 유무가 아니라 그 이전의 과정에서 올바른 방법을 찾을 수 있음을 알게 된다.

(2) 암기를 올바르게 하는 과정
교과서를 비롯한 개념서를 보면 공식과 관련해서 대부분 그 증명과정을 서술하고 있다. 그런데 대부분의 경우 귀찮아서 증명과정을 건너뛴다. 증명과정을 스스로 해보면 공식이 만들어진 이유와 근거를 명확하게 알 수 있다. 그리고 그 과정을 온전히 거치면 자동으로 암기가 된다. 그러면 증명과정을 직접 진행하는 것을 왜 귀찮아할까? 이유는 두 가지다. 공식은 암기하면 그만이지라는 생각과 증명과정에서 원활하게 해내지 못하는 부분에 대한스트레스 때문이다.

첫 번째 원인은 관념과 태도를 바꿔야 한다. 이 부분은 다음에서 언급이 되겠지만 암기만으로 문제가 풀리지 않는 상황을 접하게 되면 또 한 번 위기를 맞이하게 된다. 두 번째 원인은 증명이 잘 되지 않는 상황 그 자체를 잘 받아들이는 태도의 필요성이다.대부분의 학생은 수학 문제 풀이를 비롯해서 진행이 잘 되지 않는 상황을 부정적 상황(실력 부족, 수학 머리가 없음 등)으로 인지한다. 이는 매우 잘못된 태도다.

수학 학습은 다른 과목과 달리 답이 나올 때까지의 전 과정이 온전히 진행되지 않으면 안 되는 특성을 갖고 있다. 이 상황을 대부분의 수험생은 못 받아들인다. 간단히 비유를 해보자. 물은 섭씨 100도가 돼야 끓는다.(수학에서 정답 도출) 하지만 70도, 82도, 99도의 과정을 거쳐야 비로소 100도가 된다. 증명하다가 중단되거나 힘들어지는 지점을 70도나 82도로 이해해보자. 잘못한 것(부정적 상황)이 아니라 진행이 되고 있는 것이다.

(3) 암기와 혼동
실컷 외운 암기 내용이 잘못되면 황당한 일이 아닐 수 없다. 몇달 전의 실제 사례를 소개한다.

   
 

무엇이 잘못됐을까? 잘못된 부분이 없는 것처럼 보일 수도 있다. 마지막에 이 학생이 쓴 ‘사이값 정리’식을 자세히 보면 알 수 있다. 이 학생은 ‘사이값 정리’가 아니라 ‘평균값 정리’를 써 놓은 것이다. 추가적으로 이 학생은 평균값 정리도 식 그 자체에 주목해서 썼지 이 정리가 성립하기 위한 조건-연속과 미분가능–도 온전히 쓰지 못했고, 이 지점이 두 정리의 혼동을 초래하는 원인으로 작용했을 수도 있다. 위 식을 자세히 보면 가 보인다.

두 정리를 혼동해서 발생한 일이다. 암기에 있어서 매우 주의해야 할 지점이다. 용어가 비슷하거나 식의 형태나 구조가 비슷하면 충분히 발생할 소지가 있다. 위 학생의 경우에는 두 정리의 내용 구성에서 유사한 부분이 있어서 혼동이 발생한 듯하다. 비슷한 공식들은 서로 비교하면서 그 차이점을 부각시켜서 이해하고 암기해야 함을 잊어서는 안 된다. 아래 관련 두 정리를 소개한다.

   
 

암기는 수학만의 문제는 아니다. 언어(국어, 영어 등)에서도 암기는 문제가 된다. 그 성격이 다를 뿐 암기를 해야 하는 사실 자체가 달라지는 것은 아니다. 하지만 암기를 어떻게 하느냐에 따라서 그 과목에 대한 학습 태도와 관념이 달라지기 때문에 주의를 요한다. 공식에 대한 암기는 증명이라는 과정을 통한 이해의결과라는 사실을 잊지 말자. 그리고 암기는 그 자체가 목적이 아니라 결국은 문제 풀이에 적용하는 것이 본질이다. 그런데 실컷 암기한 공식을 문제에 적용하지 못하는 상황에 맞닥뜨리면 또 한번 수학 학습에 있어 위기를 맞게 된다. 다음 칼럼에서는 이 부분에 대한 문제점을 살펴보도록 하자.

   
 

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