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'수학의 달인' 이광준, '수학, RE-START'
제4탄: 올바른 개념학습 - 개념: 재구조화
2018년 08월 28일 (화) 09:12:37

수학 학습에 있어 잘못된 개념학습과 관련한 네 가지 사례(정의를 대충 학습하는 사례, 공식은 암기라는 착각 사례, 개념학습 중단 사례, 애매한 개념 기억 사례)와 올바른 학습태도에 대해 살펴보고 있다. 지난 칼럼에서는 ‘공식은 암기라는 착각 사례’의 문제점과 해결에 대한 내용을 다뤘다. 이번 칼럼에서는 ‘개념학습 중단 사례’의 문제점과 그 해결에 대해 살펴보자. 

보통 문제를 풀 수 있을 정도의 개념(정의와 공식·법칙·성질·정리를 지칭) 학습이 이뤄지면 대부분 개념 학습을 중단하게 된다. 이때부터 문제 해석 능력의 향상이 멈춰지고 고난도 문항에 대한 해결능력을 더 이상 키울 수 없게 되므로 주의할 필요가 있다.

1. 잘못된 개념학습 사례 – 개념학습 중단 사례
개념에 대한 몰입도가 가장 높은 시기는 새로운 개념을 배우는 초기라고 할 수 있다. 그리고 개념을 몰라서 문제풀이가 안 되는 순간도 개념에 대한 관심이 매우 높은 상황이라고 할 수 있다. 이때는 열심히 개념을 증명해보거나 써보면서 이해하고 암기하려 한다. 그런데 이런 시기와 상황이 지나 문제풀이에 큰 장애가 생기지 않으면 자연스레 더 이상 개념을 보지 않게 된다. 문제가 풀리기 때문에 더 이상 개념을 볼 필요가 없다고 생각하기 때문이다. 그나마 개념(정의와 공식·법칙·성질·정리를 지칭) 중에서 공식·법칙·성질·정리(이후 ‘공식 등’으로 통칭)를 통해 대부분의 문제를 풀 수 있다 보니 기껏해야 ‘공식 등’에 주의를 하는 듯하다. ‘정의’는 관심 대상으로부터 멀어지게 되고 문제는 여기서부터 발생하기 시작한다. 문제풀이에 직접적으로 관련되는 ‘공식 등’에만 집중하는 나머지 정의를 소홀히 하게 된다. 하지만 문제풀이를 할 때는 실제로 그렇지 않고 ‘공식 등’ 이외의 더 많은 관련 내용들이 필요하다. 대부분의 수험생들이 착각을 하고 있는 것이다.  

‘공식 등’으로 해결할 수 있는 정도와 수준의 문제들에만 절대적으로 관심이 쏠리게 되면 딱 그 정도 수준의 수학 실력을 갖추게 된다. 동시에 딱 그 정도의 수학 성적이 나오게 된다. 시험성적과 틀린 문항만 봐도 그 시험지 주인의 상황을 쉽게 맞출 수 있다. 

상담을 할 때 종종 학부모와 학생들이 이 장면을 신기해한다.(상담 시작한 지 채 10분이 되지 않아서 이런 상황을 말하는 것이 그들 입장에서는 신기할 수 있다.) 수학 학습에 있어서 어느 시점에 한계를 경험하게 되는데 그 원인은 근본적으로 개념에 있다. 문제풀이를 위한 초기 형태의 개념학습을 경험한 이후 그 다음 단계의 개념학습 형태로 변화가 이뤄지지 못했기 때문이다. 쉽게 말해 개념학습이 중단돼 버렸기 때문이다. 앞서 말했지만 단순한 ‘공식 등’의 적용으로 문제가 풀리고 또 그렇게 생각함으로써 더 이상 개념이 자신에게 중요하지 않을뿐더러 필요하지 않다고 생각한다. 왜냐하면 자신은 ‘개념을 전부 안다’고 생각하기 때문이다. 

2. 개념학습의 단계별 형태

(1) 초기 개념학습 단계
초기 개념학습 단계는 특정한 단원을 배우게 될 때 이뤄지는 과정이다. 특별하지 않는 한 선생님으로부터 관련 개념들을 배우게 된다. 개념 설명을 열심히 듣고 관련 문제풀이를 보게 된다. 개념을 문제풀이에 적용시키는 장면을 보게 되는 것이다. 

이 단계에서는 개념에 대한 이해와 암기가 주가 되지만 동시에 문제풀이에 많이 기울게 된다. 여러 가지 이유가 있는데 우선 자신이 개념을 알고 있는지 확인하는 절차로 문제풀이의 의미를 이해하기 때문이다. 또한 문제가 풀림으로써 느끼게 되는 성취감도 큰 이유라고 할 수 있다. 그렇다 보니 개념과 문제와의 관련성에 집중하기 보다는 ‘문제가 풀린다’는 장면에 집중해서 문제풀이 스킬에 더 많은 시간을 투자하게 된다. 개념학습의 중단이 시작되는 지점이라고 할 수 있다. 

(2) 중기 개념학습 단계
앞서 초기 개념학습 단계에서 개념학습이 중단되기 시작한다고 했는데 중기 개념학습 단계가 있다는 것이 모순일 수도 있다. 하지만 초기 상황과 달라진 환경에서 보여지는 개념학습의 형태가 있다. 

첫 번째 형태는 누락 개념에 대한 재학습 형태다. 진도가 나가면서 앞서 배웠던 개념을 까먹어 일어나는 형태라고 할 수 있다. 두 번째는 개념에 대한 꺼림칙함 때문에 다시 한 번 전체적으로 개념을 학습하는 형태다. 첫 번째 형태를 예방하려는 의도도 있고 무의식적으로 개념을 문제풀이 수단으로 소홀히 다뤘다는데 대한 약간의 반성적 태도도 있다고 할 수 있다.(풀리지 않는 까다로운 문항의 원인으로 개념 부족이라는 판단을 내리게 된 상황임) 물론 두 가지 형태도 예외적인 상황이고 대부분의 경우 애써 개념을 다시 학습하는 모습을 찾아보기는 힘들다.

(3) 말기 개념학습 단계
보통 시험을 치르게 되는 고3 시기라고 할 수 있다. 이 시기는 보통 크게 두 갈래로 나뉜다. 본인의 저조한 수학 실력 때문에 의무적으로 개념 강의를 듣지만, 실력 향상으로 크게 이어지지 않는 부류가 있다. 오르더라도 궁극적으로 고난도 문항은 접근이 불가능한 상황이라고 할 수 있다. 또 하나는 기존에 학습했던 개념들이 유기적으로 뭉쳐지면서 문제 분석, 해석 능력이 강화되는 부류다. 후자가 이상적이기는 하지만 여기까지 도달하기 위해서는 지속적으로 개념에 대한 재해석과 구조화가 이뤄져야 한다. 하지만 그 구체적인 방법에 대해서는 좀처럼 경험하기 힘든 것이 현실이다. 

3. 개념학습 지속을 위한 방법

(1) 개념서 옆에 두기
자신이 보는 개념서(학교 교과서, 정석, 개념원리, 인터넷 강의 교재, 학원 교재 등)를 문제 풀 때마다 늘 곁에 둔다. 그리고 문제풀이 후 사용된 개념들을 아는 것이라도 개념서를 열어 다시 확인하고 관련 문제 여백에 알고 있지만 다시 차분하게 써 본다. 알고 있는 개념이지만 문제 여백에 쓰면서 새롭게 느끼게 되는 요소들이 계속 발생한다는 사실을 느끼게 된다.

(2) 연관 개념 묶기 
절댓값, 극대·극소, 미분가능성. 이 세 가지 개념을 보면 바로 눈치를 채는 학생들도 있지만 그렇지 못한 학생들도 있다. 후자의 학생들은 개념학습과 관련한 재구조화 과정에 대한 관념이 부족한 경우에 해당한다고 할 수 있다. 이런 유형의 학생들은 수학 성적이 특정 점수대에서 멈춰버리게 된다. 

기출 문제를 풀면서 문제를 단순히 풀고 확인하는 과정을 넘어서서 문제들을 비교 대조하면서 관련 개념들의 연관 관계를 묶는 과정이 진행돼야 한다. 다음 두 기출 문제를 살펴보자.

   
 

두 문제는 모두 극대·극소 개념을 알아야 풀 수 있다. 그런데 두 문제에 줄이 그어진 부분을 보면 절댓값을 나타내고 있음을 알 수 있다. 왼쪽 문제는 ‘거리’ 개념을 통해 절댓값을 인식할 수 있어야 하고 오른쪽 문제는 직접적으로 제시하고 있다. 이렇듯 절댓값과 극대·극소 개념이 서로 연관된다는 사실을 문제를 통해 파악하고 이를 바탕으로 개념을 다시금 재구조화하는 과정을 스스로 수립해야 하는 것이다. 

개념은 알고 있다고 문제가 풀린다고 멈추는 것이 아니라 지속적으로 다시 확인하고 흩어진 개념들을 유기적으로 다시 구조화하는 노력이 필요하다. 

   
 

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