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'수학의 달인' 이광준, '수학, RE-START'
제5탄 : 올바른 개념 학습 - 개념의 반복 정리, 유사 개념의 구별과 비교
2018년 09월 27일 (목) 19:08:25

수학 학습에 있어 잘못된 개념학습과 관련한 네 가지 사례(정의를 대충 학습하는 사례, 공식은 암기라는 착각 사례, 개념학습 중단 사례, 애매한 개념 기억 사례)와 올바른 학습태도에 대해 살펴보고 있다. 지난 칼럼에서는 ‘개념학습 중단 사례’의 문제점과 해결에 대한 내용을 다뤘다. 이번 칼럼에서는 ‘애매한 개념 기억 사례’의 문제점과 그 해결에 대해 살펴보자. 개념을 학습하다보면 유사한 개념을 혼동하는 경우가 일반적으로 발생한다. 또한 개인적으로 취약한 개념이 생기기도 한다. 이런 부분은 나중에 문제풀이를 할 때 엉뚱한 개념을 적용하는 실수를 낳게 되므로 주의가 필요하다.

1. 잘못된 개념학습 사례 – 애매한 개념기억 사례
(1) 불완전한 개념학습의 문제점
지난 칼럼에서도 언급했듯이 개념을 학습하고 문제가 풀리기 시작하면 자연스레 개념학습을 멀리하게 된다. 문제풀이에 상대적으로 몰입하게 된다. 수학에서 문제라는 것은 개념을 적용시키기 위해 구체화와 사례화를 해놓은 것이다. 구체화와 사례화를 위해 텍스트, 도형과 도표, 좌표축, 구체적인 그림 등을 사용한다. 문제의 텍스트에 그 문제에서 요구하는 개념이 서술되어 있으면 크게 문제가 되지 않는다. 다음 문제를 살펴보자.

[2019학년도 9월 평가원 모의고사(가형 24번, 나형 27번)]

   
 

위 문제를 살펴보면, 텍스트로 ‘이항분포’라는 개념이 서술되어 있다. 이런 경우에는 고민할 필요도 없이 이항분포 개념을 떠올려서 문제를 풀면 된다.

[2011학년도 수능(나형 21번)]

   
 

위 문제는 똑같이 ‘이항분포’ 개념을 묻는 문제인데, 문제 어디에도 앞서 언급했던 문제처럼 텍스트 형식으로 ‘이항분포’라는 개념이 서술되어 있지 않다. 이러한 경우에는 주어진 문제를 읽어서 이 문제가 ‘이항분포’ 개념을 묻고 있는지를 판단해야 한다. 이때 평소에 ‘이항분포의 정의’를 정확하게 이해 및 암기하고 있지 않으면 해당 개념을 떠올릴 수 없다. 이항분포의 정의는 다음과 같다.

   
 

(2) 불완전한 개념학습 태도의 원인
이항분포에 관한 앞의 정의를 알고 있어야 앞서 언급했던 [2011학년도 수능(나형 21번)] 문제를 풀 수가 있다. 그런데 문제는 개념을 이해하고 암기하는 과정을 학생들이 열심히 하지 않는다는 사실이다. 그렇다보니 [2011학년도 수능(나형 21번)] 문제처럼 적용되는 개념을 문제에서 노출하지 않는 문제는 못 풀게 된다. 결국 문제를 풀지 못하게 되니 이로 말미암아 수학 학습에 대한 흥미를 잃게 된다. 이런 상황이 악순환이 되어 결국은 수학에 대한 자신감을 잃어서 포기하는 경우가 종종 발생하게 되는 것이다.

이렇듯 개념을 애매하게 암기하거나 기억하게 되면 문제를 못 푸는 일이 허다하게 발생한다. 그만큼 개념을 명확하게 이해하고 암기하는 것은 수학학습에 있어서 중요하다. 그럼에도 불구하고 학생들이 개념학습을 불완전하게 하는 이유는 무엇일까? 여러 가지 이유가 있겠지만 우리나라 수학 교육 환경의 특징에서 그 원인을 찾을 수 있다. 학교나 학원에서 이뤄지는 수학 수업 형태의 본질은 ‘정답’을 맞히느냐 여부에 집중이 되어 있다. 그렇다보니 학생들이 답을 맞히는 데에만 모든 관심이 집중이 되고 자기의 문제점에 대한 분석에는 소홀하게 된다. 매번 문제를 풀고 틀리는 과정만 반복할 뿐이다. 이런 문제점을 선생님이나 학교 차원에서 개인별 오류를 피드백 하는 과정은 거의 이루어지지 않고 있는 것이 현실이다.

이에 대해 많은 학생 수의 문제 등 환경적 원인을 들어 그런 개인별 피드백이 불가능하다는 반론도 가능하다. 하지만 오류는 유형화가 가능하고 그 경우의 수가 제한적이기 때문에 개인별 피드백을 하지 않아도 충분히 매뉴얼을 통한 해결이 가능하다. 그러나 현실적으로 이루어지지는 않고 있다.
결국 학생 개인의 수학 개념에 대한 불완전한 학습태도에 대한 수정 및 개선 장치가 현실적으로 부재하기 때문에 악순환은 계속된다. 학생 스스로 개선하지 않고서는 힘든 것이 현실이다.

2. 올바른 개념학습의 구체적인 방법
(1) 수학 수업 지도 환경의 변화
원론적인 얘기지만 가르치는 선생님들의 수업 지도에 대한 변화가 필요하다. 주어진 시간 내에 진도를 진행하는 게 힘든 것이 현실이지만 접근 방식에 조그마한 변화를 줘도 많은 문제를 해결할 수 있다. 특히 많은 문제를 다루기에 앞서 소수의 문제를 조금의 불완전함도 없이 완벽하게 이해할 수 있도록 지도하면 이후 많은 문제를 통한 연습은 학생 개개인이 충분히 할 수 있다. 이 부분은 현장에서 지도한 필자의 구체적인 경험이기도 하다.

교과서 개념을 완벽하게 이해 및 암기하고, 시중에 유명한 유형별 문제지를 열심히 풀어서 내신 시험에서 38점을 받았던 학생이 있었다. 이 학생을 지도하게 됐을 때 제일 처음 했던 일이 문제풀이 양을 극단적으로 줄이는 일이었다. 그리고 추상적인 개념이 문제에서 어떻게 구체화되는지 일일이 대응시켜서 이해시키고 문제 하나를 완벽하게 이해하고 풀 수 있게 지도했다. 그리고 풀이 과정 중에 모르는 부분은 시간을 정해서 스스로 고민한 이후에 해결이 되지 않으면, 그 부분만 해설지의 도움을 부분적으로 받고 그 다음 풀이를 전개시키게 만들었다. 그리고 도움 받은 부분은 표시를 해서 명확하게 구분하게 만들었다. 그런 부분들이 쌓이니 학생 본인이 어디서 문제가 되는지에 대한 사례가 쌓이고, 그 사례에서 공통적인 요인을 뽑아내서 문제를 해결하게 지도했다. 그 결과 이 학생은 한 달 반의 시간 안에 32점의 성적 상승이 일어났다.

(2) 개념의 반복 정리와 유사개념의 구별
문제를 풀고 답을 맞혔다고 거기서 그치지 말고 빈 여백에 적용되었던 개념을 천천히 다시 써보는 태도를 가지는 것이 중요하다. 왜냐하면 시간이 지날수록 처음 봤을 때 보이지 않았던 부분이 하나씩 보이기 때문이다. 그러면서 개념의 이해도가 더 높아지게 된다. 아는 개념인데 다시 써볼 필요가 없다고 생각할 수 있지만 학습에 있어서는 겸손의 태도가 매우 중요하다.

주의해야 하는 부분은 유사개념들이다. ‘유사’하다는 것은 비슷한 속성이나 성질을 갖고 있음을 의미하는데, 이는 혼동을 일이키기 좋은 특징을 갖고 있다. 수학에서도 심심찮게 유사개념의 혼동으로 말미암아 엉뚱한 개념을 문제에 적용시키는 경우를 자주 목격할 수 있다. 이런 유사개념들은 수학 전 분야에 있는데, 특히 확률 경우의 수에서 자주 목격할 수 있다. 순열과 조합 단원의 각 개념들은 그 종류도 많지만 개념들이 부분적으로 동일하거나 유사한 경우가 많아 수험생들이 매우 힘들어 한다. 이런 부분일수록 개념들을 명확하게 기억하고, 차이가 나는 부분이 무엇인지 구체적으로 비교하고 분석할 필요가 있다. 그리고 각 개념마다 해당하는 구체적인 문제를 지정해서 정확하게 기억하고 있는 것도 방법이 될 수 있다.

개념학습은 아무리 반복해도 지나치지 않다. 물론 단순한 반복이 되어서는 안 된다. 개념에 대한 올바른 이해와 암기가 선행될 때 문제풀이도 온전하게 할 수 있다. 개념을 자기 손으로 얼마나 반복해서 자주 쓰고 고민하느냐에 따라 수학 학습의 결과가 좌우된다고 해도 지나치지 않다.

   
 

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