대학저널

이광준 서울대 법과대학 졸업 GOBLET(가블릿) 대표

사람의 삶에서 배움이라는 것은 태어나면서부터 죽는 순간까지 끊임없이 이루어진다. 학습 역시 배움의 한 유형이고 학생들에게 가장 중요한 일이다. 그런데 배움에 있어서 중요한 점을 간과하는 경우가 종종 있다. ‘올바르게’ 배우는 것이다. 올바르게 배우지 못할 때 발생하는 문제점은 젓가락질에서 볼 수 있다. 잘못 배운 젓가락질은 스스로를 힘들게 만들고 주변 사람들에게도 의도치 않은 폐를 끼칠 수도 있다. 이번 칼럼부터 수학 학습을 할 때 필요한 올바른 마음가짐과 자세에 대해서 구체적으로 살펴보자. 그 첫 시간으로 개념의 올바른 학습에 대해 알아보도록 하자.

1. 수학의 개념
수학에서는 ‘공식’이라는 용어로 자주 사용하지만 엄격하게 공식은 개념의 일부에 해당한다. 수학에서 개념은 크게 정의와 공식·법칙·성질·정리로 나눌 수 있다. 로그의 정의, 인수분해 공식, 지수법칙, 로그의 성질, 피타고라스 정리. 명칭이 다르다는 것은 의미가 다름을 뜻한다.

고등학교 수학 과정에서는 이들을 엄격하게 구분할 필요까지는 없지만 용어를 다르게 사용하고 있다는 사실과 해당 용어가 갖는 특징들은 주의를 해서 보는 것이 개념학습에서 집중력을 높일 수 있다. 개념은 당연히 ‘이해’와 ‘암기’가 그 본질이라고 할 수 있다.

수학 역시 예외는 아니다. 하지만 수학의 개념이 다른 과목과 차이가 나는 부분이 있다. 바로 ‘증명’이다. 고등학교 과정에서 모든 개념을 증명하지 않지만 필수적인 증명은 교과서를 비롯한 이론서에 소개하고 있다. 결론적으로 말하면 수학의 개념은, 증명을 통한 이해(증명이 가능한 경우)와 암기가 그 본질이다.

2. 잘못된 수학 개념 학습 유형
(1) 적당한 개념 암기
증명과 이해를 기반으로 하지 않은 개념 암기의 학습 태도가 종종 있는 것 같다. 이유는 여러 가지로 진도, 가르치는 선생님의 스타일, 학생의 수준 등등 다양하다. 그런데 여기서 주목해야 하는 점을 살펴보면 학생의 수준과 관련한 것이다. 학생의 이해 수준이 높으면 문제될 일이 없는데 낮을 경우가 문제다. 이것이 무슨 의미일까? 학생의 이해 수준이 떨어질수록 보통의 경우 ‘이해’보다는 ‘암기’에 중점을 두는 수업과 학습이 이루어지는 경우가 많다는 사실이다.

이유는 납득이 될 수도 있다. 이해가 힘드니까 암기를 우선해서 기본적인 문제만이라도 풀자라는 것이다. 만약 그렇다면 그 다음은 어떻게 할 것인가? 이에 대해서는 대책이 없는 것이다. 최근에 지켜본 어느 학원에서 수학을 배우고 있는 학생의 사례가 있다. 수학 성적이 잘 나오지 않으니 천천히 기본 문제를 여러 번 반복하자는 수업 방향이 잡혔다. 이 학생은 같은문제를 일정한 시간 간격을 두고 3회 이상 반복 풀이를 했다. 그런데 이 과정을 면밀히 지켜보니 개념은 적당히 암기, 문제 풀이는 풀이 방법을 반복해서 외우는 것이다. 즉, 적당한 개념 암기를 기반으로 문제 풀이를 ‘무조건 암기’하는 것이다.

이 상황에서 어떤 문제가 생길까? 바로 개념과 문제 풀이가 따로 놀게 되는 것이다. 문제 풀이 방식을 여러 번 반복해서 암기하니까 왜 그 문제에 해당 개념이 사용되는지 생각하지 않고 그냥 기계적으로 푸는 것이다. 당연히 실력이 나아질 리가 없다. 학교에서 내신 시험을 치면 난이도나 상황에 따라 다소 차이가 나겠지만 30점 전후의 성적이 나오면 다행일 것이다.

(2) 단절적인 개념 학습
수학 I의 지수 단원을 예로 살펴보도록 하자.<도표 1>지수단원을 학습하는 학생들을 살펴보면 ‘1. 거듭제곱근의 뜻’부터 대충 학습하다가 ‘ 의 제곱근’과 ‘ 제곱근 ’를 구분하지 못하는 일이 생긴다. 그리고 보통 ‘2. 거듭제곱근의 성질’을 ‘무시’하는 경향이 있다. 이유는 간단하다. 지수법칙을 활용해서 문제가 대부분 해결되기 때문이다. 거듭제곱근의 정의를 배웠으면 이를 기반으로 거듭제곱근끼리 사칙연산 중 곱셈과 나눗셈이 성립하고 이외 고유한 형태의 연산을 정리해 놓은 것이 거듭제곱근의 성질이다. 그런데 이러한 이해를 기반으로 거듭제곱근의 성질을 살펴보지 않고 거듭제곱근을 그냥 지수 형태로 바꿔서 지수법칙을 적용해서 풀어버리는 것이다.

 

이렇게 풀이하는 것이 잘못됐다는 것이 아니라 거듭제곱근의 정의를 배웠으면 이를 기반으로 어떤 연산이 가능한지를 면밀히 살펴보는 식의 연결적 개념 학습을 해야 한다는 것이다. 이러한 태도가 지수 단원에서는 큰 의미가 없다고 할지라고 다른 단원에서는 문제가 될 수도 있다. ‘태도’라는 것은 변함이 없는 근본적인 부분이라 단절적인 개념 학습을 하는 태도는 모든 단원에서 등장하기 마련이다.

또한 거듭제곱근의 성질과 지수법칙을 비교하면서 공통점과 차이점을 살펴보는 것도 필요한 과정이다. 하지만 그렇게 학습하는 학생은 찾아보기 드물다. 혹자는 그렇게 하지 않아도 문제 푸는데 지장이 없다고 하지만 실제로 그렇지가 않다. 문제풀이의 가능성을 떠나서 수학 학습에 열정을 갖고 심화 문제까지 도달할 수 있는 마음가짐과 태도의 문제는 다르다. 한계가 불보 듯 뻔한 양치기 문제풀이 수학 학습이 아직도 성행하고 있는 것은 매우 유감이다. 양은 채워야 하지만 처음부터 양을 채우는 것은 금물이다. 온전한 개념학습과 바른 문제풀이로 기반을 닦으면 이후에는 스피드가 붙어서 충분히 양을 채울 수가 있다.

3. 올바른 개념 학습
독학이 아닌 인터넷 강의와 수업으로 수학 개념 학습을 진행하는 것이 일반적이다. 이럴 경우 선생님의 개념 설명 스타일에 따라 학습자의 개념 학습의 성격과 태도가 형성된다. 선생님을 선택할 수 있는 경우라면 개념에 대한 풍부하고 입체적인 설명, 유사 개념과 구별 개념들과 비교하는 개념 수업을 듣기를 권장한다. 또한 개념에 대한 수업 또는 인터넷 강의를 들고 나면 반드시 교과서를 천천히 읽기를 권장한다. 더 바람직한 것은 교과서를 천천히 읽고 나서 개념에 대한 수업 또는 인터넷 강의를 듣고 다시 교과서를 천천히 읽는 것이다.

그리고 반드시 개념노트를 준비해서 하나씩 자신의 손으로 서술하고 그 형태를 확인하는 감각적인 개념학습이 중요하다. 단순히 서술을 하는 것이 아니라 눈과 손으로 그 형태를 확인하면서 앞서 배운 개념들과 관련이 있는 것인지도 함께 생각하면서 학습하도록 한다. 개념은 반복과 누적학습을 해야한다. 앞 단원이 끝났다고 절대로 덮어두면 안 된다. 단원이 다르지만 유사한 구조나 관련성이 있는 개념들이 있기 때문이다. 당연히 비교하면서 개념학습을 해야한다.

개념학습의 최종 목적은 보지 않고 백지에 개념을 일목요연하게 쓸 수 있으면서 동시에 그 개념들이 문제에 어떤 형식으로 사용되는지 자신의 문제풀이 경험들을 서술할 수 있게 되는 것이다.

 

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