대학저널

[수학의 달인] “왜 수학 성적이 오르지 않는가?”, 제1탄 여러 얼굴을 가진 개념

수학 공부를 열심히 했는데도 불구하고 성적이 오르지 않아서 불안하고 속상한 학생들이 많다. 해결책은 보이지 않고 불안한 마음에 어느새 손은 수학 문제를 열심히 풀고 있다. 기약 없는 기다림 속에 어느 날 치른 모의고사에서 열심히 풀었던 내 문제는 틀리고 ‘모르면 3번이야!’라고 늘 외치던 친구는 3번을 찍어서 맞추는 웃픈 상황은 어제 오늘의 일이 아니다. 이런 고민에 늘 힘겨워 하는 학생들을 위해 ‘왜 수학 성적이 오르지 않는가?’라는 물음에 하나씩 답을 찾아보도록 하자. 그 첫 번째로 ‘여러 얼굴을 가진 개념’에 대해 살펴보자.

1. 개념

(1) 개념의 의미
개념은 여러 가지로 표현이 가능하겠지만, 수학에서 개념은 정의를 비롯하여 공식·법칙·성질·정리 정도로 표현하면 이해하기 쉬울 것이다. 수학뿐만 아니라 다른 과목에서도 개념을 알지 못하면 문제를 풀 수 없지만, 보다 더 근본적으로는 문제 자체를 이해할 수 없다. 다음 예를 살펴보자.

이 문제는, ‘내분점의 정의와 구하는 공식’을 이용해서 문제를 풀어야 한다. ‘내분점’이라는 개념을 알고 있으면 문제에 표현된 ‘내분하는 점’을 통해 문제가 요구하는 바를 이해하고 문제를 풀 수 있게 된다. 그런데 만약 ‘내분점’이라는 개념을 알지 못하면 어떻게 이 문제를 바라보게 될까? 여러 가지 경우가 있겠지만, 문제 첫머리에 있는 ‘수직선’부터 먼저 그리고 ‘선분 AB를 1:3으로 내분’한다는 표현을 대략적으로 추론해서 두 점 사이의 어떤 점을 찾을 것이다. 그나마 이 문제는 그렇게 해서라도 풀 수 있지만 대부분의 문제는 개념을 알고 있지 못하면 아예 풀 수가 없게 된다.

따라서 개념을 학습하는 것은 너무나 중요한 과정이 된다. 그런데 대부분의 학생들은 개념을 이해하는 데 있어서 ‘이해’를 하고 ‘외워서’ 문제를 푸는 데 ‘적용’하면 된다고 생각을 한다. 틀린 생각은 아니지만 이 생각만으로는 절대로 원하는 만큼의 수학 성적을 올릴 수 없다.

(2) 개념에 대한 다양한 의미
개념의 의미를 단순히 문제 풀이에 적용한다는 태도를 유지하게 되면 수학 학습에 비례한 시간만큼 성적은 오르지 않는다. 오히려 그 시간만큼 다른 과목에 투자하는 것이 훨씬 더 성적 올리기가 좋을 것이다. 우리가 ‘등차수열’이라는 개념을 ‘처음’ 배울 때는 등차수열의 정의를 이해하고 이를 바탕으로 ‘등차중항’과 ‘등차수열의 합 공식’을 유도하고 기억하게 된다. 이 기억을 바탕으로 관련 문제를 풀면서 배웠던 개념들을 ‘적용’하게 된다. 하지만 이런 과정은 등차수열 개념을 ‘처음’ 배울 때의 과정이고 시간이 지나면서 다양한 문제를 접하게 되면 이것이 전부가 아니라는 사실을 알게 된다. 지금부터 개념이 가지는 다양한 의미에 대해 살펴보자.

2. 변화무쌍한 개념

(1) 개념 적용
개념의 다양한 의미에 대해 살펴보기 전에 개념을 제대로 ‘적용’하고 있는지에 대해 살펴보자. 대부분의 학생들은 개념을 적용하는 과정에 있어서 가시를 발라놓은 생선살을 젓가락으로 집어 먹으면 되는 것으로 이해하는 경우가 있다. 물론 개념을 단순히 적용하는 측면에서 는 틀린 생각은 아니다. 교과서나 익힘책에 등장하는 확인학습 정도의 쉬운 문제는 이런 형식의 문제가 대부분이다. 하지만 조금 까다로운 문제를 맞닥뜨리게 되면 개념을 단번에 적용시킬 수 있도록 문제가 출제되지 않는다.

여기서 혼란이 발생한다. ‘개념을 정확하게 이해하고 외웠는데, 왜 문제가 풀리지 않는 걸까?’ 이런 경우는 대부분 개념을 바로 적용시킬 수 없는 형태로 문제가 만들어진 경우다. 결국 개념을 적용시키기 위해서 문제에 주어진 조건을 ‘변형’해야 하는 상황이 발생한다는 사실이다. 이런 부분을 간과한 채 단순히 문제풀이만 반복하면 실력이 절대로 오르지 않는다. 매번 ‘나는 개념을 외우고 열심히 문제를 풀어도 성적이 오르질 않아’라는 반복되는 고민만 생길뿐이다. 따라서 단순히 개념을 적용시켜서는 풀이가 되지 않는 문제들을 모아서 그 특징을 분석하고 정리하는 것이 중요하다.

(2) 개념과 정보
개념을 단순히 문제 풀이에 적용시켜야 하는 것을 넘어서서 문제 풀이에 있어 하나의 ‘정보’로서 의미를 가지는 경우가 있다. 다음 두 문제를 비교해 보면 그 의미를 구체적으로 이해할 수 있다.

두 문제의 공통점은 무엇일까? 두 문제는 모두 ‘등차중항’이라는 개념을 알고 있어야 문제를 풀 수 있다. 하지만, 두 문제에서 ‘등차중항’의 의미는 각각 다르게 이용되고 있다. 첫 번째 문제는 문제의 표현, ‘네 수 1, x, y, z가 이 순서대로 등차수열을 이루고’에서 등차중항 개념을 떠올려서 적용시켜야 한다. 하지만 두 번째 문제는 문제의 표현, ‘2an+1=an+an+2’에서 등차중항 개념을 문제에 직접적으로 표현하고 있다. 여기서 등차중항 개념은 적용시키는 의미가 아니라 ‘정보 제공’의 의미다. 두 번째 문제를 보면 문제의 첫 머리에 ‘수열 {an}’이라는 표현을 하고 있다. 첫 번째 문제는 ‘등차수열’이라고 표현하는데 비해서 두 번째 문제는 그냥 ‘수열 {an}’이라고 표현하고 있는 것이다. 눈치를 챘겠지만, 두 번째 문제는 ‘수열 {an}’ + ‘2an+1=an+an+2’가 되어 ‘수열 {an}’이 등차수열이 됨을 알 수 있다. 이렇듯 여러분이 공부하는 ‘개념’이라는 것이 단순히 문제에 적용시키는 의미에만 머무르지 않는다는 사실을 알 수 있다.

문제를 풀어서 맞히는 즐거움을 넘어서서 이제는 ‘왜 문제를 이런 형식으로 구성했는가?’, ‘왜 이 문제에서는 이런 식으로 표현했지?’라는 등의 의문을 가지면서 공부를 해야 할 필요가 있다. 수학 문제를 다 맞힌다는 것은 결국 이런 의문에 대해서 스스로 답을 찾아가는 과정에서 얻어지는 하나의 결과인 셈이다.

[저작권자ⓒ 대학저널. 무단전재-재배포 금지]